Iliev-Sendovs hypotes består av följande påstående: Då p(z)=(z-z1)(z-z2)???(z-zn)är ett Polynom av grad n?2, vars alla nollställen ligger i enhetsskivan, ligger det åtminstone ett nollställe till derivatan p'(z) inom en längdenhet från varje nollställe till Polynomet p(z). Hypotesen är bevisad för Polynom av gradtal n?8.Syftet med denna uppsats är att studera Iliev-Sendovs hypotes. Utifrån ett givet nollställe a i enhetsskivan vill jag identifiera ett tillräckligt och eventuellt mindre område En(a) än det som begränsas inom en längdenhet från nollstället a, där varje punkt motsvaras av ett nollställe till derivatan p'(z).

Heltalen och Polynom tycks ha flera gemensamma egenskaper. En av heltalens egenskaper är aritmetikens fundamentalsats som säger att alla heltal kan skrivas som en produkt av primtal. Polynomen har en motsvarande egenskap, faktorsatsen, som innebär att varje Polynom kan skrivas som en produkt av rotfaktorer. Denna och flera andra egenskaper som heltal och Polynom har som motsvarar varandra beror inte på en slump utan på att de är besläktade. Egenskaper hos många välanvända mängder, de reella talen, de rationella talen samt heltalen kan beskrivas med gruppteori.

Detta är en studie om elliptiska kurvor. En elliptisk kurva över en kropp k är en icke-singulär tredjegradskurva över k tillsammans med en punkt O. Mängden av alla punkter på tredjegradskurvan som har koordinater i k utgör, tillsammans med punkten O, en abelsk grupp. Punkten O är i de flesta fall en punkt i oändligheten. I denna studie låter vi ofta k vara de rationella talen och presenterar två viktiga satser när k=Q: Mordell´s sats och Mazur´s sats.

De p-adiska talen vars främsta användningsområde ligger inom talteorin beskrevs först av den tyske matematikern Kurt Hensel 1897.För varje primtal p, så utvidgas talsystemet Q av rationella tal till ett större talsystem som betecknas Qp, de så kallade p-adiska talen.En annorlunda valuation av rationella tal ger ett så kallat icke-arkimediskt absolutbelopp samt en annan metrik än den vi är vana vid, en ultrametrik. Vilket gör att kroppen av p-adiska tal Qp får en annorlunda topologi.Ett icke-arkimediskt absolutbelopp har samma egenskaper som ett vanligt arkimediskt absolutbelopp, samt en extra egenskap nämligen .Avslutningsvis använder vi oss av Hensels lemma, vilken bygger på Newton-Raphsons metoden för att lösa ekvationer, för att bestämma om ett Polynom har rötter i Zp och i så fall vilka de är. Då den p-adiska analysen på många sätt är lättare än den reella analysen så visar Hensels lemma ganska lätt om ett Polynomen har rötter i Zp..

En elliptisk kurva består av nollställena till ett kubisk Polynom i två variabler, sådant att det existerar åtminstone en punkt på kurvan och kurvan är icke-singulär. Punkterna på en sådan kurva bildar en abelsk grupp och olika egenskaper hos dessa grupper beskrivs i den här uppsatsen. Bland annat presenteras Mordell-Weils sats som säger att en elliptisk kurva över en talkropp är en ändligt genererad grupp. Nagell-Lutz sats ger nödvändiga villkor för att en punkt på en rationell elliptisk kurva ska ha ändlig ordning. Resultatet att en elliptisk kurva över de komplexa talen är isomorf med en torus presenteras också.

En säker informationskanal med hög överföringskvalitet krävs i dessa dagar när informationsöverföringen ökar för varje år som går. Det finns olika sätt att skapa detta. Antingen genom att se till att överföringsmediet är av mycket hög kvalitet eller att skapa en skyddsmekanism som gör att de överföringsfel som kan uppstå kan detekteras och även korrigeras om man önskar detta. Denna uppsats handlar om detta, att kunna detektera och korrigera fel. Denna gren inom matematiken kallas kodningsteori.Uppsatsen presenterar grunden för kodningsteorin, för att sedan presentera några vanligt förekommande kodningsalgoritmer, Hamming koder, BCH koder, Reed-Solomon.

The aim of my study is to investigate how last year students in upper secondary schoolunderstand certain mathematical concepts, in particular the unit circle and its trigonometry.I have used intentional analysis to interpret student?s actions when they solve certain tasks onthe basis of a cognitive, situated and cultural context.Interviews with four university teachers in mathematics about the unit circle, trigonometry,and mathematical understanding, serve both as background for the study and as basis for adiscussion, where I relate students understanding to what the teachers want new students toknow about these concepts when they begin university studies in mathematics.The students were arranged in three groups with three students in each group. Each group waspresented with two tasks, one in which they were asked to calculate the cosine values for onepointed, one blunt and one straight angle, each located in a separate triangle. They were alsoasked to decide whether the points (0,71; 0,71) and d (1 2 , 3 2 ) are located on the unit circleor not.My conclusion is that students mainly have an operational conception of the unit circle andtrigonometry. The lack of structural conceptions result in difficulties in seeing connectionsbetween the concepts in unfamiliar situations.

Tillämpad ?ödesmekanik. För att härleda Eulers ekvationer gås tre fysikaliskaprinciper igenom, som behöver uppfyllas. I ?ödesmekaniken dykerbehovet av att kunna derivera med avseende på både position och tid,därav blir materialderivatan ett naturligt redskap.När vi talar om ?öden stöter vi ofta på benämningen vorticitet.