Virvlars rörelse i två dimensioner
Tillämpad ?ödesmekanik. För att härleda Eulers ekvationer gås tre fysikaliskaprinciper igenom, som behöver uppfyllas. I ?ödesmekaniken dykerbehovet av att kunna derivera med avseende på både position och tid,därav blir materialderivatan ett naturligt redskap.När vi talar om ?öden stöter vi ofta på benämningen vorticitet. Vorticitetensförhållande till ?ödets hastighetsfält studeras; även beräkningenav vorticiteten studeras genom att titta på komponenterna av hastighetsfältet. Olika typer av virvelkoncept såsom virveltub, virvellament ochvirveltråd gås även igenom. Slutligen behandlas begreppet punktvirvel,som, i två dimensioner, är en diskret virvelapproximation med styrka i enpunkt.Punktvirvlarnas rörelseekvationersystem av ickelinjära första ordningensODE:erbeskrivs i både komplex och reell form. De uttryckervardera virvels hastighet i form av de andra virvlarnas positioner ochstyrkor. Ett exempel ges där två virvlar, i ett plan utan vare sig rändereller hål, rör sig längs en linje vilket leder fram till en sats som säger atttvå virvlar i planet utan ränder eller hål följer en rät linje om och endastom de har samma styrka till beloppet men motsatt tecken. Satsen bevisassedan.Hamiltonfunktionen och Hamiltons ekvationer introduceras först urett allmänt perspektiv för att sedan snäva in på de punktvirvelspeci-ka Hamiltonekvationerna. Med hjälp av Noethers sats visas att energins,virvelrörelsemängdens och virvelrörelsemängdsmomentets bevarande implicerasav tids-, translations- och rotationsinvarians.Genom en rad exempel illustreras var vorticitetscentret benner sig iett system av punktvirvlar.Två viktiga saker, att tänka på då ränder införs, motiveras för att sedanintroducera Greens funktion och låta Hamiltonfunktionen uttryckasmed den. Genom ett exempel visas hur en virvels hastighet, i halvplanet,kan bestämmas med hjälp av att placera ut en spökvirvel.Avsnittet virveldipol behandlar begreppet virveldipol och tillämpningarinom området. En virveldipol skapas när två punktvirvlar överlapparvarandra. Därefter studeras strömfunktionen och Hamiltonfunktionen närdipoler tillsammans med punktvirvlar benner sig i det oändliga planet.Ett system av punktvirvlar kan utvecklas självliknande (eng. selfsimilarly).Om virvelpositionerna uttrycks på komplex form är det dåintressant att känna till deras fas och amplitud. En känd självliknande utvecklingär Kimuras så kallade trippelkollision: tre virvlar kolliderar ochsammansmälter till en virvel. Trippelkollisionen simuleras i simulatornsom utvecklats parallellt med rapportskrivandet, men det visar sig att detre punktvirvlarna kommer ut igen från kollisionspunkten. Detta antashända då Matlabs ODE45, som används, når sin feltoleransgräns.Relativa jämviktspositioner för virvlar studeras med moderna metoderframtagna av H.Aref. Virvelpositionerna kan associeras med ett genererandepolynom vars rötter är just virveljämviktspositonerna de själva.Slutligen visas ett antal intressanta specialfall. Av speciellt intresse är depositioner som ger jämvikt då punktvirvlarna antingen benner sig på enlinje eller i hörnen av en polygon.