En skarp version av Iliev-Sendovs hypotes
Iliev-Sendovs hypotes består av följande påstående: Då p(z)=(z-z1)(z-z2)???(z-zn)är ett polynom av grad n?2, vars alla nollställen ligger i enhetsskivan, ligger det åtminstone ett nollställe till derivatan p'(z) inom en längdenhet från varje nollställe till polynomet p(z). Hypotesen är bevisad för polynom av gradtal n?8.Syftet med denna uppsats är att studera Iliev-Sendovs hypotes. Utifrån ett givet nollställe a i enhetsskivan vill jag identifiera ett tillräckligt och eventuellt mindre område En(a) än det som begränsas inom en längdenhet från nollstället a, där varje punkt motsvaras av ett nollställe till derivatan p'(z). Jag vill också söka efter delar av En(a) för polynom av grad n?3.Redan för polynom av grad två gäller det att det ''optimala'' området E2(a)är betydligt mindre än det som begränsas av cirkeln med radien en längdenhet, nämligenE2(a)={z:|z-(a/2)|?(1/2)}.För polynom av grad tre har jag visat att{z:|z-(a/2)|??(12-3|a|2)/6lE3(a).För alla polynom jag har studerat har jag börjat med att fixera ett nollställe i origo och har då funnit att En(0)={z:|z|?(1/(n-1?n)) När jag fixerar ett nollställe till ett polynom av grad n i en punkt z=a, där 0?a<1, finner jag att ellipsen som beskrivs av ekvationen(x-(a/2))2+(1/(1-a2))y2=1/4och dess innandöme är en delmängd av En(a).