Removal of copper from stormwater runoff

Sammanfattning

I den ha?r studien implementeras en finita elementmetod för att lösa optimala styrpro- blem i programvaran FEniCS. Den finita elementmetod som anva?nds a?r ha?mtad fra?n Karin Krafts doktorsavhandling Adaptive Finite Element Methods for Optimal Control Problems [2].Optimala styrproblem behandlar styrning av dynamiska system. Systemen beskrivs av en tillsta?ndsekvation och ma?let a?r att styra systemet mot ett visst tillsta?nd till en sa? la?g kostnad som möjligt. För detta syfte introduceras en ma?lfunktional som ma?ter avvikelsen fra?n ma?let och a?ven inkluderar kostnaden för styrning. Det optimala styrproblemet löses genom att minimera ma?lfunktionalen med systemets tillsta?ndsekvation som bivillkor.I Krafts avhandling utnyttjas Lagranges metod och bivillkoret skrivs pa? variationsform och adderas till ma?lfunktionalen. Da?rmed fa’s en funktional utan bivillkor att minimera. Variationskalkyl anva?nds sedan för att na? en svag formulering som slutligen löses med finita elementmetoden.Syftet med studien a?r att undersöka hur va?l la?mpat FEniCS a?r för att hantera en finiita elementmetod lik den Kraft anva?nder, vilken bygger pa? en kombination av kontinuerliga och diskontinuerliga funktionsrum. De diskontinuerliga funktionsrummen innefattar i Krafts avhandling tva? yttre randva?rden. Dessa finns inte i de funktionsrum som FEniCS tillhandaha?ller, vilket leder till komplikationer.Komplikationerna kringga’s genom att justera den matrisekvation som finita element- metoden resulterar i. Detta kra?ver extra arbete, men uppva?gs av FEniCS fördelar. Till exempel a?r det enkelt att a?ndra gradtalet hos baspolynomen i de funktionsrum som an- va?nds, samt att variera de?nitionsintervallet och dess partitionering. Ytterligare en fördel a?r att konstruktionen av matrisekvationen automatiseras. Fra?n variationsformuleringen och de valda funktionsrummen ger FEniCS en finiita elementlösning till problemet.