Den hypergeometriska differentialekvationen och dess l?sningar i det komplexa planet

Sammanfattning

I detta kandidaterbete studeras Gauss hypergeometriska differentialekvation, samt hur den hypergeometriska funktionen kan anv?ndas f?r att l?sa kopplingsproblemet (jfr. eng. connection problem). Den hypergeometriska funktionen ger uttryck f?r de lokala l?sningarna kring differentialekvationens tre singulariteter. Detta m?jligg?r l?sning av kopplingsproblemet, vilket inneb?r att finna linj?ra f?rh?llanden mellan de lokala l?sningarna. Efter en presentation av Riemannekvationer och den hypergeometriska funktionen redog?rs det f?r Kummers 24 l?sningar och Gauss-Kummers identitet. Dessa utnyttjas sedan f?r att l?sa kopplingsproblemet. Slutligen diskuteras inneb?rden av kopplingsproblemet och hur det ger en global f?rst?else av l?sningarna. Kopplingsprobelemt f?r Gauss hypergeometriska differentialekvation har l?sts tidigare och kan exempelvis studeras i boken From Gauss to Painlev? [5]. Dock ”r litteraturen ofta p” en h?gre niv? och sv?r att f?rst? f?r studenter p? kandidatniv?. Arbetet sammanst?ller de n?dv?ndiga f?rkunskaperna och presenterar kopplingsproblemet p? en enklare niv?.