Lösning av optimala styrproblem med finita elementmetoden. En studie i FEniCS.
I den ha?r studien implementeras en finita elementmetod fo?r att lo?sa optimala styrpro- blem i programvaran FEniCS. Den finita elementmetod som anva?nds a?r ha?mtad fra?n Karin Krafts doktorsavhandling Adaptive Finite Element Methods for Optimal Control Problems [2].Optimala styrproblem behandlar styrning av dynamiska system. Systemen beskrivs av en tillsta?ndsekvation och ma?let a?r att styra systemet mot ett visst tillsta?nd till en sa? la?g kostnad som mo?jligt. Fo?r detta syfte introduceras en ma?lfunktional som ma?ter avvikelsen fra?n ma?let och a?ven inkluderar kostnaden fo?r styrning. Det optimala styrproblemet lo?ses genom att minimera ma?lfunktionalen med systemets tillsta?ndsekvation som bivillkor.I Krafts avhandling utnyttjas Lagranges metod och bivillkoret skrivs pa? variationsform och adderas till ma?lfunktionalen. Da?rmed fa?s en funktional utan bivillkor att minimera. Variationskalkyl anva?nds sedan fo?r att na? en svag formulering som slutligen lo?ses med finita elementmetoden.Syftet med studien a?r att underso?ka hur va?l la?mpat FEniCS a?r fo?r att hantera en finiita elementmetod lik den Kraft anva?nder, vilken bygger pa? en kombination av kontinuerliga och diskontinuerliga funktionsrum. De diskontinuerliga funktionsrummen innefattar i Krafts avhandling tva? yttre randva?rden. Dessa finns inte i de funktionsrum som FEniCS tillhandaha?ller, vilket leder till komplikationer.Komplikationerna kringga?s genom att justera den matrisekvation som finita element- metoden resulterar i. Detta kra?ver extra arbete, men uppva?gs av FEniCS fo?rdelar. Till exempel a?r det enkelt att a?ndra gradtalet hos baspolynomen i de funktionsrum som an- va?nds, samt att variera de?nitionsintervallet och dess partitionering. Ytterligare en fo?rdel a?r att konstruktionen av matrisekvationen automatiseras. Fra?n variationsformuleringen och de valda funktionsrummen ger FEniCS en finiita elementlo?sning till problemet.