Banach-Tarskis paradox
amenabla grupper och urvalsaxiom
Vi presenterar bevis av b?de den starka och svaga formuleringen av Banach-Tarskis para dox. Specifikt visar vi att alla klot i R3 ?r E(3)-paradoxala (svaga formuleringen), och att alla begr?nsade delm?ngder av R3 med icke-tom interi?r ?r E(3)-ekvidekomponerbara (starka formuleringen). Vi presenterar relevant teori g?llande ekvidekomponerbarhet och paradoxalitetsom kr?vs f?r att genomf?ra bevisen. Ut?ver Banach-Tarskis paradox unders?ker vi amenabla grupper och presenterar ett graf teoretiskt bevis av Tarskis sats, n?mligen att en grupp antingen ?r amenabel eller paradoxal.
Vi ger n?gra exempel p? amenabla och paradoxala grupper, presenterar n?dv?ndiga och tillr?ckliga villkor f?r amenabilitet och visar att alla Abelska grupper ?r amenabla samt att SO(n) ?r paradoxal f?r alla n ? 3 medan SO(1) och SO(2) ?r amenabla. D? Banach-Tarskis paradox bygger p? paradoxaliteten hos SO(3) finns det allts? ingen analog paradox i R eller R2.
Vi unders?ker ocks? urvalsaxiomets roll genom att visa att en uppr?knelig begr?nsning av urvalsaxiomet inte ger Banach-Tarskis paradox. Detta g?r vi genom att introducera de terminismaxiomet och visa att under detta ?r alla delm?ngder av R Lebesgue-m?tbara vilket mots?ger paradoxen. D?refter l?gger vi ?ven till axiomet V = L(R) och visar att de tillsammans medf?r den uppr?kneliga begr?nsningen av urvalsaxiomet. Sammanlagt ger detta en modell d?r det uppr?kneliga urvalsaxiomet h?ller men inte Banach-Tarskis paradox.