Urvalsaxiomet (AC) är numera allmänt accepterat som ett naturligt fun-dament i mängdlära. Här presenterar vi hur kardinalitet och Kardinaltal kande nieras utan AC och visar ett antal klassiska resultat om vad som kan ske imodeller till ZF där AC är falsk. Det visar sig då att Kardinaltalsaritmetiken,som med urvalsaxiomet är trivial, får en potentiellt sett rik struktur.Speciellt presenteras metoden att falsi era AC i så kallade permutations-modeller. Med denna metod visas ett relativt nytt resultat av Shelah ochHalbeisen som visar att det är konsistent med ZF att det nns en mängdsådana att mängden av ordnade par med element urUUhar strängt mindrekardinalitet än mängden av oordnade par med element urU..

Syftet i denna undersökning har varit att undersöka hur utvecklad barnens antalsräkning är i olika åldrar genom att framförallt studera antalsprincipen och abstraktionsprincipen. Genomförande har skett i olika åldersgrupper där barnen har fått fiska ankor med matematikuppdrag under ankornas magar i form av prickar att räkna. Observationer har gjorts under aktiviteterna där jag antecknat barnens svar i ett färdigt kryssprotokoll. Studien visar hur barn hanterar antalsräkning i lekfulla aktiviteter där det blir inspirerande att lära sig räkna genom att räkna prickar på ankorna, samt att para ihop dem efter utseende. Resultatet visade att barnen har goda kunskaper i antalsräkning där pekräkningen användes.